Andrei Jaikin: "En matemáticas hay que sustituir el contenido por capacidades de lógica"

Andrei Jaikin es miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMat), catedrático de la UAM y coorganizador del Pequeño Instituto de Matemáticas (PIM), un proyecto del ICMat financiado por ICMat y CUNEF Universidad, en colaboración con el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid y la Real Sociedad Matemática Española. Su objetivo es fomentar el interés en las matemáticas entre personas de entre 12 y 18 años, con clases semanales los viernes por la tarde (salvo fiestas y puentes) de 17.30 a 20.00 en el ICMat que se completan con el trabajo personal en casa.

El PIM acaba de cerrar el curso 2023-24, en un acto en el salón de actos del ICMat que se quedó pequeño, y ya tiene en marcha sus pruebas para el curso que viene, que serán mañana para los alumnos que van a empezar 1º, 2º y 3º de ESO en septiembre y el 14 de junio para los que estarán en 4º de ESO y Bachillerato. Pero, en realidad, el registro está abierto durante todo el año, uno se puede apuntar en cualquier momento.

¿Cómo surge el PIM?
–Empezamos hace dos años los tres organizadores actuales: Eva [Elduque, profesora en la UAM e investigadora del ICMat], Moisés [Herradón, miembro de la UAM] y yo. Un día nos reunimos y les propuse la idea. Yo tengo una hija de 15 años y ha estado dos años en Estalmat, el cual funciona desde hace 25 años. El PIM es una escuela de estilo similar, aunque no idéntico, para niños con intereses en matemáticas. Viendo la experiencia de mi hija en Estalmat y pensando en mi experiencia cuando tenía su edad me pareció que sería una buena idea crear algo parecido a lo que había en mi infancia. Eva y Moisés también tenían mucha experiencia. Ellos han estado en Madison, en círculos matemáticos. Moisés también participó como representante español en la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO), la olimpiada más importante del mundo, en la que España, en 50 años de participación, solo ha logrado cinco medallas de plata y ninguna de oro. Ambos conocían muy bien ese ambiente de preparación para las olimpiadas, y decidimos empezar algo similar a un círculo de matemáticas basándonos en nuestra experiencia.

¿En qué se diferencia a los círculos de matemáticas de tu juventud?
–Yo nací en Moscú, y en Rusia esto está muy extendido. Yo iba a una de estas escuelas, que estaba en la Universidad de Moscú. Sí, el PIM se parece a ello en el sentido de que nos daban una hoja de problemas, los resolvíamos en casa y después en las reuniones en la universidad contábamos nuestras soluciones.

Los tiempos han cambiado, los chicos de ahora son diferentes, nosotros insistimos mucho en que tienen que intentar hacer ejercicios en casa, pero es una tarea pendiente. Hay un porcentaje pequeño que sí lo hacen, pero la mayoría no.

Pero, para vosotros, uno de los pilares del éxito del programa es el trabajo en casa.
–Debería ser, pero hicimos una encuesta al terminar el curso y preguntábamos cuántas horas dedican a los ejercicios. La media es una hora a la semana. En uno de nuestros seis grupos tenemos a cinco representantes de Madrid en la olimpiada española que sacaron cinco medallas, dos bronces y tres platas. Es un nivel muy alto, y estos chicos dedican mucho más tiempo a las matemáticas, no solo vienen aquí, también tienen preparación de olimpiadas. En la encuesta, algunos pusieron que dedicaban cuatro horas, algunos tres, muy pocos dos y muchos pusieron cero. Entre clase y clase no lo están viendo. Y esto, desde mi punto de vista, es un pequeño fracaso. Esto es la realidad, hay que también entender que estamos en otra época… pero el año que viene pensamos incentivar de alguna forma el trabajo en casa. Vamos a buscar fórmulas.

En tu época le dedicábais mucho más tiempo en casa.
–Se entendía que tú tenías que trabajar en casa. Eso era totalmente obvio y casi todos lo hacíamos. Con este tipo de actividades es muy importante que se cree una dinámica y un ambiente en el grupo y si la mayoría trabaja en los ejercicios en casa, el resto también lo empieza a hacer. Es muy importante tener esta dinámica, potenciar cosas positivas. Si se crea una dinámica en que la mayoría trabaja en casa, eso también cambia. Es muy difícil luchar. Ahora mismo yo veo claramente hay que mejorar este aspecto en el PIM. Les insistimos, hablamos, ellos dicen que lo comprenden, pero después la realidad es que hay muchas distracciones en el mundo actual.

¿Esto juega en contra de una mayor profundización en las matemáticas?
–La valoración del PIM por parte de los chicos es muy positiva, dicen que han aprendido mucho, pero yo, como matemático profesional, entiendo que uno aprende de verdad cuando trabaja individualmente. Uno no puede aprender matemáticas viendo solo cómo trabajan otros. Después de trabajar en casa y sabiendo lo que no te ha salido, al ver cómo otros sacan los problemas difíciles, aprendes mucho más. Pero a pesar de que no todos dedican tiempo en casa, vienen, están en grupos pensando… Y al final esto les ayuda mucho y están notando sus mejoras.

¿Y vosotros? ¿Veis cómo mejoran?
–Cuando vienen, cuando les das un problema… Yo definiría tres niveles. El primer nivel, al principio, no entienden el enunciado. Les das un texto de tres líneas y después de leerlo a veces no saben lo que se pregunta, o interpretan las condiciones de una forma que no está escrita… Y hay algunos alumnos que han pasado las pruebas y han venido incluso con este nivel. Leemos el problema y después les tienes que insistir que intenten leerlo otra vez para entender de verdad lo que se les pregunta. Creemos que estando aquí eso sí se mejora. Pero para eso no hace falta trabajar en casa. La mayoría superan ese nivel.

Otro nivel es cuando uno tiene que entender la diferencia entre una demostración y lo que no es una demostración. Cuando tu compañero te dice “Ya sé cómo se hace” y empieza a contarte, tú estás al lado y tienes que decidir ¿Su argumento es correcto o no lo es? Es lógica básica, pero no es tan sencillo, eso se practica, y la escuela actual no da este tipo de conocimientos. En muchos casos los argumentos que ellos piensan que son válidos en realidad son completamente erróneos. Por ejemplo, en la hoja de problemas que proponemos a los alumnos para entrar al PIM –el registro está abierto todo el año–, hacemos preguntas al final: ¿Cómo te han parecido los ejercicios de la prueba? Más de la mitad dicen “muy fáciles”, y si uno dice «muy fáciles» de seis problemas como mucho ha hecho uno. Este es el segundo nivel, y eso también es cuestión de práctica: tú escuchas un argumento, después el profesor viene y dice “No, este argumento no es correcto, porque esto de aquí, esta conclusión, no es así, este paso no es correcto”. Esto también se aprende aquí, en el PIM.

El tercer nivel, el más profundo, es tener herramientas suficientes para poder atacar el problema, crear ideas propias, tener perseverancia para resolverlo. Y para eso sí hace falta trabajo propio en casa. Para mejorar esto tú tienes que hacer muchos intentos, ver qué no te sale, qué ideas no se te han ocurrido, analizar de alguna forma por qué. Si has intentado un problema, no te ha salido y después te han contado la idea, internamente tú empiezas a entender por qué no te ha salido, dónde había este momento crítico que no sabías hacer.

Las matemáticas se dividen en dos formas de atacar el problema. Hay ideas básicas en la demostración, que es lo más complicado, y después, la técnica. La técnica es algo que cualquiera con un poco de experiencia puede hacer. Lo difícil son estas ideas pequeñas, entender en base al conocimiento que tienes cómo hay que avanzar para conseguir el siguiente paso y eso claramente se aprende mucho trabajando solo.

¿Qué falla en el sistema educativo preuniversitario en la enseñanza de las matemáticas?
–Primero, la sociedad percibe las matemáticas de forma errónea. Las matemáticas hay que entenderlas como el arte, como la pintura. Enseñando matemáticas nosotros enseñamos a pintar cuadros. Pues bien, venimos a clase y para pintar cuadros lo que nos enseñas es a pintar paredes y, además, con un pincel. ¿Qué es esto? ¿Qué falla? Para enseñar matemáticas debe haber gente que sabe matemáticas, igual que para enseñar a pintar cuadros está claro que un pintor de paredes no sirve. Un ingeniero en general no puede enseñar matemáticas. Él sabe pintar paredes con brocha gorda.

El programa escolar se centra mucho en contenidos y es un error grave, porque lo que importa en matemáticas no es eso. Al terminar la escuela deben saber dos cosas: entender un enunciado y entender qué es una demostración. Y para dar el siguiente paso, más difícil ya, se debe avanzar desde ahí. Todos entendemos que pintando cuadros unos van a llegar a un nivel y otros a un nivel más alto. Este siguiente paso es producir demostraciones, y depende de las capacidades de cada uno, del interés de cada uno, del tiempo que esté dispuesto a dedicar. Pero las dos cosas básicas que debe aprender un estudiante son estas: entender un enunciado, lo que está relacionado con comprensión lectora en general, no es solamente matemáticas; leer un libro y saber escribir en una página de qué trata es parecido. Y el segundo, más relacionado con las matemáticas, es entender si un argumento es un argumento válido, y para esto no hace falta saber seno, logaritmo, probabilidad… Este contenido enorme, sobre todo en Bachillerato, no es lo que a nosotros como profesionales nos interesa. Nosotros ya les educaremos en álgebra lineal. Hasta me molesta que muchos estudiantes de Física (donde impartía clases este año) saben álgebra lineal, porque lo les enseñaron es a hacer recetas y yo tengo que cambiar su forma de pensar, porque ellos piensan que lo saben pero en realidad sólo saben recetas. Les dicen: “Determinante, qué es un determinante no importa, vamos a calcular el determinante, y esto se hace así, la fórmula es esta”. Ecuación cuadrática, nadie que llega a la universidad sabe demostrar que las raíces de una ecuación cuadrática son estas y no otras. Nadie sabe demostrar el teorema de Pitágoras. Hay que cambiar el contenido y sustituirlo por capacidades de lógica.

Pero la nueva ley, la Lomloe, pretendía eliminar contenido y apostar más por las competencias.
–Me cuesta comparar una ley con la otra, simplemente veo a los estudiantes que vienen al PIM y más tarde a la universidad y veo que les falta desarrollar la lógica. No entienden muchas cosas básicas. Eso es lo que cambiaría. Es muy difícil, porque los contenidos los puedes poner en el programa, pero ¿cómo decidir si un estudiante sabe demostrar o no? Esto es más sutil, más difícil de evaluar, y también hay que entender que en una clase no puede haber el mismo ritmo. Es como en pintura, uno empezará a pintar cuadros sencillos y otro rápidamente pintará cuadros mucho más avanzados. Pasa en todo, las matemáticas no son una excepción, eso es lo que hay que entender. En una clase yo creo que el profesor tiene que tener más poder, pero, claro, para tener más poder también tiene que tener más conocimiento, y yo entiendo que eso es fácil decirlo, pero los que terminan Matemáticas no quieren ser profesores. Es un problema tan grande que no se le puede dar una solución a corto plazo. Igual un programa… No lo sé.

¿Se podría extender el modelo del PIM a Primaria?
–Claro que sí, los problemas de lógica se entienden en todos los niveles, el problema es que yo personalmente no me atrevería a trabajar con esas edades. Pero, sí, enseñar lógica se puede a partir de los cinco años. Y la madurez está relacionada con la edad, pero no siempre. Hay chicos que desarrollan capacidades matemáticas antes, otros más tarde… Lo importante es motivar el interés. En clase de mi hija les daban fórmulas de suma, multiplicación, y dedicaban la clase a abrir paréntesis, sumar… Esto mata cualquier interés, es como dar un pincel y decirles “Ahora pinta la pared”, y después de esto nadie quiere ser pintor.

Me decía un pedagogo hace unos días que el profesor de matemáticas en la ESO no está para que sus alumnos sepan tantas matemáticas como él, sino para que sepan las matemáticas de la ESO.
–Otra vez, no sé para él qué debe ser saber matemáticas. Para mí saber matemáticas no es el contenido, es tu forma de hacer problemas, tu forma de razonar. El contenido es posterior. Si te interesa, tú amplías. Lo que no me gusta es que les dan contenidos sin explicar el porqué. Les hablan de funciones, de derivadas… ¿qué es una derivada? Para ellos es algo formal, “derivada de X² es 2X”. Para un matemático es mucho más, yo no veo ningún sentido en explicarles derivadas si no se les explica para qué y cómo… Hay mucho contenido de Secundaria y de Bachillerato que desde mi punto de vista no hace falta dar. ¿Qué hace falta? Enseñarles a pensar, a demostrar, dar otro tipo de matemáticas. Antes la geometría estaba mucho más presente en el programa, y es mucho más visual. Un estudiante entiende qué es un triángulo, y cuando dos triángulos son iguales, lo ve, es un conocimiento que no depende de la edad. Después vendrá cómo demostrar que dos triángulos son iguales, y a partir de ahí problemas un poquito más difíciles. Lo importante es que ellos entiendan lo que hacen, porque las fórmulas muchas veces no les dicen nada, pero algo visual sí les habla.

¿Pretendéis fomentar vocaciones matemáticas?
–También preguntamos en la clausura de este año ¿Pensáis estudiar Matemáticas? Creo que de ciento y pico alumnos solo 20 o 15 respondieron que sí. La mayoría no lo está pensando. Es sorprendente porque en teoría hay tanta gente que quiere hacer Matemáticas… Alguien que quiere cursar la carrera de Matemáticas claramente debería pasar por un lugar de este tipo, porque si tú comparas lo que te espera en la universidad con lo que tienes en la escuela no tiene nada que ver, y con lo que hacemos en el PIM sí tiene algo que ver. La experiencia de aquí va a ser mucho más parecida a lo que a uno le espera si elige la carrera de Matemáticas. Cualquier estudiante que está planteándose hacer Matemáticas debe probar, así sabrá si le gusta o no.

Pero en principio, no. Y es que la capacidad matemática te ayuda en muchos ámbitos, es lógica, es poder atacar problemas con métodos originales, es crear tus propios caminos…

¿Hay más chicos que chicas en el PIM?
–Una vez hicimos un estudio, teníamos 35% de chicas y 65% de chicos.

¿Crees que se da la brecha de género y una mayor ansiedad en las chicas ante las matemáticas?
–Tengo una hija que está en el PIM… Supongo que sí. Creo que, por ejemplo, a la hora de elegir la carrera, es más habitual escuchar a una chica decir “No sé si podré con una carrera tan difícil”. Sí existe algo de presión psicológica sobre las chicas, y les cuesta más decidirse por las Matemáticas, probablemente sí.

¿Las matemáticas son de genios o de personas perseverantes?
–En todos los ámbitos hay gente que hace las cosas mejor y peor. En música hay gente a la que desde los seis años se les nota más capacidad y a otros se les nota menos, pero después, a la hora de trabajar, al final consiguen resultados similares. En matemáticas pasa algo parecido. Hay disposiciones y después lo que importa al final, en cualquier éxito, es si a esta persona le gusta. Hay muchos casos en que uno empezó a hacer música, terminó el conservatorio y al día siguiente cerró el piano y nunca más lo tocó. En matemáticas pasa lo mismo. Se puede entrenar, pero en primer lugar la persona necesita tener interés y ganas, y entonces lo intentará, aprenderá y llegará a donde pueda. En nuestro mundo sí existen genios, pero hay espacio para todos, y si te gusta algo, al final inviertes mucho tiempo, te conviertes en un profesional y obtienes buenos resultados.

Pero nuestro sistema educativo no fomenta precisamente ese interés.
–Yo incluso me preguntaría ¿no sería mejor prohibir matemáticas en Primaria? Yo quizás lo haría, porque desde mi punto de vista el interés se mata, porque en 2º de Primaria empezamos a aprender a sumar y multiplicar números de dos dígitos; en 3º, de tres; en 4º, de cuatro… Es lo mismo, ¿cuál es la diferencia? Si uno no está preparado en 2º para sumar no hay que hacerle sumar, y hay que esperar a que lo sepa hacer, y entonces le va a dar igual sumar dos dígitos o cuatro, pero insistir en que en 2º, dos dígitos; en 3º, tres; en 4º, cuatro… El sistema tiene que adaptarse al alumno y buscar su interés. Lo más importante para un niño durante su etapa en la escuela, en Primaria y Secundaria, es encontrar algo que le interese y le apasione, tener esta sensación de “Me gusta”. Los padres no tienen que insistir si no le gusta. Incluso puede ser fútbol, no pasa nada, pero tiene que hacer algo con pasión. Y después elegir en su vida algo que le motive.

¿Estáis abiertos a la colaboración para que lo que hacéis en el PIM tenga mayor impacto?
–Sí, hemos creado una base de datos de problemas, 800 problemas de distinto nivel en dos años, que estamos ampliando, y si alguien quiere crear algo similar a lo que hacemos y nosotros vemos que esta persona tiene capacidad de hacerlo bien, le daremos acceso a esta base. Una persona capacitada puede adaptar las hojas, según los estudiantes que tenga. Solo se necesita un espacio y, más difícil, una persona cualificada y dispuesta a hacerlo. Claro que estamos abiertos. En la web del PIM está toda la información.